Di Metode Numerik ada beberapa metode yang digunakan, diantaranya Bisection dan Newton Raphson. Ini sedikit penjelasan tentang kedua metode tersebut.
METODE BISECTION
DAN
METODE NEWTON RAPHSON
A. METODE BISECTION
Metode Bisection atau disebut juga dengan metode bagi dua merupakan salah satu jenis metode pencarian instrumental dimana selang/range selalu dibagi dua atau membagi range menjadi 2 bagian. Ide awal metode ini adalah metode table, dimana suatu area dibagi menjadi N bagian. Pada Metode Bisection ini jika suatu fungsi berubah tanda pada suatu selang, maka nilai fungsi dihitung pada titik tengah, kemudian lokasi akar ditentukan sebagai titik tengah selang bagian terjadinya perubahan tanda.
Prinsip dari Metode Bisection adalah: membagi range menjadi 2 bagian, dari dua bagian ini dipilih bagian mana yang mengandung akar dan membuang bagian yang tidak mengandung akar. Hal ini dilakukan berulang-ulang hingga diperoleh akar persamaan.
Berikut adalah langkah-langkah dalam menyelesaikan Metode Bisection (metode bagi dua), yaitu :
Langkah 1 : Pilih a sebagai batas bawah dan b sebagai batas atas untuk taksiran akar sehingga terjadi perubahan tanda fungsi dalam selang interval.
Langkah 2 : Taksiran nilai akar baru yaitu c diperoleh dari :
Atau perumusan akar dengan
Langkah 3 : Menentukan daerah yang berisi akar fungsi:
• Jika |f(c)| ≤ toleransi, maka harga c adalah harga x yang dicari, bila tidak dilanjutkan ke tahap 4.
Langkah 4 :
Jika f(c) > 0, maka a baru = a dan b baru = c, sehingga daerah akar fungsi a < x < c
Jika f(c) < 0, maka a baru = c dan b baru = b, sehingga daerah akar fungsi c < x < b. Kemudian kembali ke tahap 2.
B. METODE NEWTON RAPHSON
Metode Newton Raphson adalah metode pendekatan yang menggunakan satu titik awal dan mendekatinya dengan memperhatikan slope atau gradien pada titik tersebut. Metode ini bisa digunakan dalam mencari akar dari suatu persamaan dan sering digunakan karena kesederhanaannya. Metode ini hanya membutuhkan ”tebakan” 1 buah harga awal yang seharusnya terletak di sekitar DOMAIN JAWAB (secara intuitif) nilai akar α, sedemikian rupa sehingga formula tersebut konvergen (menuju ke titik jawab).
Newton Raphson ini menggunakan fungsi derivatif (turunan) sebagai fungsi garis singgung. Hal lain yang harus diperhatikan adalah bahwa Metode Newton- Raphson ini memberikan beban tambahan kepada penggunanya, karena adanya keharusan menghitung fungsi turunan f ’(x)n di setiap iterasi (titik xn ). Hal ini merupakan salah satu kekurangan dari metode ini, mengingat tidak semua fungsi dapat diturunkan atau mempunyai turunan pada suatu interval yang kontinyu. Kekurangan lainnya adalah penetapan harga awal sulit dan tidak selalu menemukan akar (divergen). Sedangkan keunggulan metode ini adalah memiliki laju konvergensi kuadratik, sehingga metode ini lebih cepat untuk konvergen menuju akar pendekatan daripada metode lain yang memiliki laju konvergensi linear.
Pada dasarnya, algoritma metode Newton untuk mencari akar suatu fungsi f(x) dimulai dengan menentukan nilai awal iterasi terlebih dahulu, misalkan x = a. Pada setiap iterasi, metode Newton ini akan mencari suatu nilai katakanlah b yang berada pada sumbu-x. Nilai b ini diperoleh dengan menarik garis singgung fungsi f(x) di titik x = a ke sumbu-x. Dibawah ini adalah langkah-langkah penyelesaian dengan Newton Raphson :
1. Definisikan fungsi f (x) dan f ’(x)
2. Tentukan toleransi error (e) dan iterasi maksimum (n)
3. Tentukan nilai pendekatan awal x0
4. Hitung f (x0) dan f ’(x0)
5. Hitung nilai x1 = x0 - dan selanjutnya yaitu
6. Untuk iterasi i = 1 s/d n, hitung f (X i+1) dan f ‘ (X i+1)
7. Akar persamaannya adalah x terakhir yang diperoleh.
Gambar grafik hasil metode Newton Raphson
Beberapa permasalahan pada Metode Newton Raphson antara lain :
a. Metode ini tidak dapat digunakan ketika titik pendekatannya berada pada titik ekstrim atau titik puncak, karena pada titik ini nilai f ‘(x) = 0.
b. Metode ini menjadi sulit atau lama mendapatkan penyelesaian ketika titik pendekatannya berada di antara dua titik stasioner
METODE BISECTION
DAN
METODE NEWTON RAPHSON
A. METODE BISECTION
Metode Bisection atau disebut juga dengan metode bagi dua merupakan salah satu jenis metode pencarian instrumental dimana selang/range selalu dibagi dua atau membagi range menjadi 2 bagian. Ide awal metode ini adalah metode table, dimana suatu area dibagi menjadi N bagian. Pada Metode Bisection ini jika suatu fungsi berubah tanda pada suatu selang, maka nilai fungsi dihitung pada titik tengah, kemudian lokasi akar ditentukan sebagai titik tengah selang bagian terjadinya perubahan tanda.
Prinsip dari Metode Bisection adalah: membagi range menjadi 2 bagian, dari dua bagian ini dipilih bagian mana yang mengandung akar dan membuang bagian yang tidak mengandung akar. Hal ini dilakukan berulang-ulang hingga diperoleh akar persamaan.
Berikut adalah langkah-langkah dalam menyelesaikan Metode Bisection (metode bagi dua), yaitu :
Langkah 1 : Pilih a sebagai batas bawah dan b sebagai batas atas untuk taksiran akar sehingga terjadi perubahan tanda fungsi dalam selang interval.
Langkah 2 : Taksiran nilai akar baru yaitu c diperoleh dari :
Atau perumusan akar dengan
Langkah 3 : Menentukan daerah yang berisi akar fungsi:
• Jika |f(c)| ≤ toleransi, maka harga c adalah harga x yang dicari, bila tidak dilanjutkan ke tahap 4.
Langkah 4 :
Jika f(c) > 0, maka a baru = a dan b baru = c, sehingga daerah akar fungsi a < x < c
Jika f(c) < 0, maka a baru = c dan b baru = b, sehingga daerah akar fungsi c < x < b. Kemudian kembali ke tahap 2.
B. METODE NEWTON RAPHSON
Metode Newton Raphson adalah metode pendekatan yang menggunakan satu titik awal dan mendekatinya dengan memperhatikan slope atau gradien pada titik tersebut. Metode ini bisa digunakan dalam mencari akar dari suatu persamaan dan sering digunakan karena kesederhanaannya. Metode ini hanya membutuhkan ”tebakan” 1 buah harga awal yang seharusnya terletak di sekitar DOMAIN JAWAB (secara intuitif) nilai akar α, sedemikian rupa sehingga formula tersebut konvergen (menuju ke titik jawab).
Newton Raphson ini menggunakan fungsi derivatif (turunan) sebagai fungsi garis singgung. Hal lain yang harus diperhatikan adalah bahwa Metode Newton- Raphson ini memberikan beban tambahan kepada penggunanya, karena adanya keharusan menghitung fungsi turunan f ’(x)n di setiap iterasi (titik xn ). Hal ini merupakan salah satu kekurangan dari metode ini, mengingat tidak semua fungsi dapat diturunkan atau mempunyai turunan pada suatu interval yang kontinyu. Kekurangan lainnya adalah penetapan harga awal sulit dan tidak selalu menemukan akar (divergen). Sedangkan keunggulan metode ini adalah memiliki laju konvergensi kuadratik, sehingga metode ini lebih cepat untuk konvergen menuju akar pendekatan daripada metode lain yang memiliki laju konvergensi linear.
Pada dasarnya, algoritma metode Newton untuk mencari akar suatu fungsi f(x) dimulai dengan menentukan nilai awal iterasi terlebih dahulu, misalkan x = a. Pada setiap iterasi, metode Newton ini akan mencari suatu nilai katakanlah b yang berada pada sumbu-x. Nilai b ini diperoleh dengan menarik garis singgung fungsi f(x) di titik x = a ke sumbu-x. Dibawah ini adalah langkah-langkah penyelesaian dengan Newton Raphson :
1. Definisikan fungsi f (x) dan f ’(x)
2. Tentukan toleransi error (e) dan iterasi maksimum (n)
3. Tentukan nilai pendekatan awal x0
4. Hitung f (x0) dan f ’(x0)
5. Hitung nilai x1 = x0 - dan selanjutnya yaitu
6. Untuk iterasi i = 1 s/d n, hitung f (X i+1) dan f ‘ (X i+1)
7. Akar persamaannya adalah x terakhir yang diperoleh.
Gambar grafik hasil metode Newton Raphson
Beberapa permasalahan pada Metode Newton Raphson antara lain :
a. Metode ini tidak dapat digunakan ketika titik pendekatannya berada pada titik ekstrim atau titik puncak, karena pada titik ini nilai f ‘(x) = 0.
b. Metode ini menjadi sulit atau lama mendapatkan penyelesaian ketika titik pendekatannya berada di antara dua titik stasioner
Comments (0)
Posting Komentar